Question

7．如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，CD=3，AB=9，AD=5，点P是腰AD上的一个动点，要使PC+PB最小，其最小值为（　　）

• A． 13
• B． $\sqrt{13}$
• C． $\sqrt{82}$
• D． $\sqrt{85}$

Answer 1

分析 作点C关于AD的对称点C′，连接BC′与AD相交于点P，根据轴对称确定最短路线问题，点P即为使PC+PB最小的点，过点C′作C′E⊥AB交BA的延长线于E，求出BE、C′E，再利用勾股定理列式求出BC′，即为PC+PB的最小值．

解答 解：如图，作点C关于AD的对称点C′，连接BC′与AD相交于点P，
由轴对称确定最短路线问题，点P即为使PC+PB最小的点，PC+PB=BC′，
过点C′作C′E⊥AB交BA的延长线于E，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴∠ADC′=90°，
又∵C′E⊥AB，
∴四边形ADC′E是矩形，
∴AE=C′D=CD=3，
C′E=AD=5，
∴BE=AE+AB=3+9=12，
在Rt△BC′E中，由勾股定理得，BC′=$\sqrt{B{E}^{2}+C′{E}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
即PC+PB的最小值=13．
故选A．

点评 本题考查了轴对称确定最短路线问题，直角梯形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并准确确定出点P的位置是解题的关键．