Question

16．如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是BC边上一动点（不含B，C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处，在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．
发现：△CMP和△BPA是否相似，若相似给出证明，若不相似说明理由；
思考：线段AM是否存在最小值？若存在求出这个最小值，若不存在，说明理由；
探究：当△ABP≌△ADN时，求BP的值是多少？

Answer 1

分析 发现：先证明∠MPA=90°，然后依据同角的余角相等可证明∠CPM=∠PAB，结合条件∠C=∠B=90°，可证明量三角形相似；
思考：设PB=x，则CP=4-x，依据相似三角形的性质可得到CM=$\frac{1}{4}$x（4-x），作MG⊥AB于G，依据勾股定理可得到AM=$\sqrt{16+A{G}^{2}}$，则AG最小值时，AM最小，然后由AG=AB-BG=AB-CM得到AG与x的函数关系，依据二次函数的性质可求得当x=2时，AG最小值=3；
探究：依据全等三角形的性质和翻折的性质可得到∠PAB=∠DAN=∠EAP=∠EAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z．然后可证明△BPK为等腰直角三角形，故此得到PB=BK=z，AK=PK=$\sqrt{2}$z，最后依据AK+BK=4列出关于z的方程求解即可．

解答 解：发现．∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，∠CPN+∠NPB=180°，
∴2∠NPM+2∠APE=180°，
∴∠MPN+∠APE=90°，
∴∠APM=90°，
∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB．
又∵∠C=∠B=90°，
∴△CMP∽△BPA．
思考：设PB=x，则CP=4-x．
∵△CMP∽△BPA，
∴$\frac{PB}{CM}=\frac{AB}{PC}$，
∴CM=$\frac{1}{4}$x（4-x）．
如图1所示：作MG⊥AB于G．

∵AM=$\sqrt{M{G}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{16+A{G}^{2}}$，
∴AG最小值时，AM最小．
∵AG=AB-BG=AB-CM=4-$\frac{1}{4}$x（4-x）=$\frac{1}{4}$（x-2）²+3，
∴x=2时，AG最小值=3．
∴AM的最小值=$\sqrt{16+9}$=5．
探究：∵△ABP≌△ADN，
∴∠PAB=∠DAN，AP=AN，
又∵∠PAB=∠EAP，∠AEP=∠B=90°，
∴∠EAP=∠EAN，
∴∠PAB=∠DAN=∠EAP=∠EAN=22.5°．
如图2：在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z．

∴∠KPA=∠KAP=22.5°，
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，
∴∠BPK=∠BKP=45°，
∴PB=BK=z，AK=PK=$\sqrt{2}$z，
∴z+$\sqrt{2}$z=4，
∴z=4$\sqrt{2}$-4．
∴PB=4$\sqrt{2}$-4．

点评 本题主要考查的是相似三角形的综合应用，解答本题主要应用了相似三角形的性质和判定、翻折的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定，二次函数的最值，列出AG的长与x的函数关系式是解答问题（2）的关键；截取AK=PK，构造出等腰直角△PBK，然后依据题意列出关于z的方程是解答问题（3）的关键．