Question

14．我市某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品，现投放市场进行试销，其每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当该工艺品的销售单价定为多少元时，工厂每天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）根据工厂的实际，每天销售该工艺品的利润不得低于8000元，请结合二次函数的大致图象，求出该工艺品销售单价的范围．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法将（40，400），（60，200）代入可得函数关系式；
（2）根据利润=单件利润×销售量，列出函数关系式并配方可得最值；
（3）画出函数的大致图象，当W=8000时x=40或60，知40≤x≤60时，W≥8000．

解答 解：（1）根据题意，设y=kx+b，
将（40，400），（60，200）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{40k+b=400}\\{60k+b=200}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-10}\\{b=800}\end{array}\right.$，
故y=-10x+800；
（2）设工厂每天获得的利润记为W，根据题意，
有，W=（x-20）（-10x+800）
=-10x²+1000x-16000
=-10（x-50）²+9000，
当x=50时，W取得最大值，最大值为9000；
答：该工艺品的销售单价定为50元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是9000元．
（3）该二次函数的大致图象如下图所示：

在W=-10x²+1000x-16000中，当W=8000时，即-10x²+1000x-16000=8000，
解得：x1=40，x2=60，
由函数图象可知，当该工艺品销售单价40≤x≤60时，每天销售该工艺品的利润不低于8000元．

点评 本题主要考查二次函数的实际应用能力，根据题意找到相等关系并列出函数关系式是解题关键．