Question

如图，△ABC的内心为I，M、N分别是ABAC的中点，AB＞AC，内切圆⊙I与边BC，CA相切于D，E，证明：MN，BI，DE三线共点．

Answer 1

考点：圆的综合题,三角形中位线定理,切线长定理,三角形的内切圆与内心

专题：证明题

分析：设MN与BI的延长线的交点为F₁，MN与DE的延长线的交点为F₂，只需证明F₁与F₂重合，只需证明MF₁=MF₂，易证MF₁=MB，只需证明MF₂=MB，而MF₂=MN+NF₂，易证NF₂=NE，只需证明MB=MN+NE，只需证明MB=MN+NC-EC，只需运用切线长定理就可解决问题．

解答：证明：设MN与BI的延长线的交点为F₁，MN与DE的延长线的交点为F₂，如图．
∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴MN∥BC，MN=

1

2

BC，
∴∠MF₁B=∠CBF₁．
∵点I为△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，
∴∠ABF₁=∠CBF₁．
∴∠MF₁B=∠ABF₁，
∴MF₁=MB．
∵内切圆⊙I与边BC、CA、AB相切于D、E、G，
∴AG=AE，BG=BD，CD=CE，
∴2CE=AC+BC-AB，
∴CE=

AC+BC-AB

2

．
∵MN∥BC，CD=CE，∠NEF₂=∠CED
∴∠NF₂E=∠EDC=∠DEC=∠NEF₂，
∴NF₂=NE，
∴MF₂=MN+NF₂=MN+NE=

BC

2

+NC-EC
=

BC

2

+

AC

2

-

AC+BC-AB

2

=

AB

2

=MB=MF₁，
∴点F₁与点F₂重合，
∴MN，BI，DE三线共点．

点评：本题考查了切线长定理、切线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是把“证明MN，BI，DE三线共点”转化为证明“MN与BI延长线的交点”与“MN与DE延长线的交点”重合．