Question

10．如图1，在平面直角坐标系中，A是第四象限内一点，AB⊥y轴于B，且C（3，0）是x轴正半轴上一点，OB-OC=2，S_{四边形ABOC}=20．
（1）求A的坐标；
（2）设D是线段OB上一动点，当∠CDO=∠A时，CD与AC之间存在怎样的位置关系，写出你的结论并证明；
（3）当D在线段OB上运动时，连接AD、CD，如图2，∠OCD＞∠BAD，DE平分∠ADC，DP∥AB，$\frac{∠OCD-∠BAD}{∠PDE}$是否为定值？不是，请说明理由；是，请证明之．

Answer 1

分析 （1）首先判断四边形ABOC是直角梯形，根据梯形的面积公式求出AB，即可解决问题．
（2）利用四边形内角和360°，以及对角互补解决．
（3）根据平行线的性质以及角平分线的定义即可解决问题．

解答 解：（1）∵C（3，0），OB-OC=2，
∴OC=3，OB=5，
∵AB⊥y轴，
∴OC∥AB，
∴四边形ABOC是直角梯形，
∴$\frac{3+AB}{2}×5=20$，
∴AB=5，
∴点A坐标（5，-5）．

（2）如图1中，结论：AC⊥CD．

理由：
∵∠CDO+∠CDB=180°，∠CDO=∠A，
∴∠A+∠CDB=180°，
在四边形ABDC中，∵∠A+∠BDC+∠ABD+∠ACD=360°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
∵∠ABD=90°，
∴∠ACD=90°，
∴AC⊥CD．

（3）如图2中，结论：$\frac{∠OCD-∠BAD}{∠PDE}$=2．

理由：∵OC∥DP，AB∥OC，
∴DP∥AB，
∴∠OCD=∠CDP=∠CDE+∠PDE，∠BAD=∠ADP=∠ADE-∠PDE，
∵DE平分∠CDA，
∴∠CDE=∠ADE，
∴∠OCD-∠BAD=（∠CDE+∠PDE）-（∠ADE-∠PDE）=2∠PDE，
∴$\frac{∠OCD-∠BAD}{∠PDE}$=$\frac{2∠PDE}{∠PDE}$=2．

点评 本题考查了坐标与图形性质、四边形内角和定理、平行线的性质、梯形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．