Question

2．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB=BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．
（1）求证：四边形DBFC是平行四边形；
（2）如果BC平分∠DBF，∠F=45°，BD=2，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）由这一点就证出BD∥CF，CD∥BF，即可得出四边形DBFC是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质得出CF=BD=2，由等腰三角形的性质得出AE=CE，作CM⊥BF于F，则CE=CM，证出△CFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF=$\sqrt{2}$，得出AE=CE=$\sqrt{2}$，即可得出AC的长．

解答 （1）证明：∵AC⊥BD，∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．
∴BD∥CF，CD∥BF，
∴四边形DBFC是平行四边形；

（2）解：∵四边形DBFC是平行四边形，
∴CF=BD=2，
∵AB=BC，AC⊥BD，
∴AE=CE，
作CM⊥BF于F，
∵BC平分∠DBF，
∴CE=CM，
∵∠F=45°，
∴△CFM是等腰直角三角形，
∴CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF=$\sqrt{2}$，
∴AE=CE=$\sqrt{2}$，
∴AC=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．