Question

15．已知关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0
（Ⅰ）求证：方程有两个不相等的实数根；
（Ⅱ）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）要证明无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根，就是证明△＞0，而△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1，所以△＞0；
（2）根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后两种情况相同，则可分两种情况，再由根与系数的关系得出k的值．

解答 （1）证明：∵△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1，
∴△＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2﹚解：∵△ABC是等腰三角形；
∴当AB=AC时，△=b²-4ac=0，
∴（2k+3）²-4（k²+3k+2）=0，
解得k不存在；
当AB=BC时，即AB=5，
∴5+AC=2k+3，5AC=k²+3k+2，
解得k=3或4，
∴AC=4或6．
∴△ABC的周长为14或16．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解法．