题目内容
6．已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（4，0），另一个交点是B，与y轴交于C，且该抛物线顶点的横坐标为1，△AOC的面积为6．（1）求点B、C的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）在以A、B、C三点为顶点的△ABC中，设点M是AC边上的一个动点，过点M在MN∥AB，交BC于点N，试问：在x轴上是否存在点P，使得△PMN为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；不存在，请说明理由．
分析 （1）根据抛物线顶点的横坐标为1可得出抛物线的对称轴为x=1，结合一个交点的坐标为（4，0），即可得出另一交点B的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出OC的长度，结合抛物线开口向上，即可得出点C的坐标；
（2）由点A、B、C三点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（3）先利用待定系数法求出直线AC、BC的解析式，假设成立，设出点M的坐标，由此即可得出点N的坐标，再分∠OMN=90°、∠PNM=90°以及∠MPN=90°三种情况考虑，每种情况下根据等腰直角三角形的性质找出关于m的一元一次方程，解方程即可得出点P的坐标．
解答 解：（1）依照题意画出图形，如图1所示．
∵该抛物线顶点的横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（4，0），
∴另一交点B（-2，0）．
∵S△AOC=$\frac{1}{2}$OA•OC=$\frac{1}{2}$×4×OC=6，
∴OC=3，
∴点C的坐标为（0，-3）．
（2）将点A（4，0）、B（-2，0）、C（0，-3）代入y=ax2+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+c=0}\\{4a-2b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{8}}\\{b=-\frac{3}{4}}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{3}{8}{x}^{2}$-$\frac{3}{4}$x-3．
（3）∵A（4，0），B（-2，0），C（0，-3），
设直线AC的解析式为y=k1x-3，直线BC的解析式为y=k2x-3，
∴0=4k1-3，-2k2-3=0，
解得：k1=$\frac{3}{4}$，k2=-$\frac{3}{2}$，
∴直线AC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-3，直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x-3．
假设存在，设M（m，$\frac{3}{4}$m-3）（0＜m＜4），则N（-$\frac{1}{2}$m，$\frac{3}{4}$m-3）．
△PMN为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：
①当∠OMN=90°时，P（m，0），
∵△PMN为等腰直角三角形，
∴$\frac{3}{4}$m-3=-$\frac{1}{2}$m-m，解得：m=$\frac{4}{3}$，
此时点P的坐标为（$\frac{4}{3}$，0）；
②当∠PNM=90°时，P（-$\frac{1}{2}$，0），
∵△PMN为等腰直角三角形，
∴$\frac{3}{4}$m-3=-$\frac{1}{2}$m-m，解得：m=$\frac{4}{3}$，
此时点P的坐标为（-$\frac{2}{3}$，0）；
③当∠MPN=90°时，P（$\frac{1}{4}$m，0），
∵△PMN为等腰直角三角形，
∴2×（$\frac{3}{4}$m-3）=-$\frac{1}{2}$m-m，解得：m=2，
此时点P的坐标为（$\frac{1}{2}$，0）．
综上可知：在x轴上存在点P，使得△PMN为等腰直角三角形，点P的坐标为（$\frac{4}{3}$，0）、（-$\frac{2}{3}$，0）或（$\frac{1}{2}$，0）．
点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质找出点B的坐标以及利用三角形的面积公式求出OC；（2）利用待定系数法求出函数解析式；（3）分三种情况考虑，根据等腰直角三角形的性质找出关于m的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据等腰直角三角形的性质找出关于M的横坐标的方程是关键．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4），矩形ABCD的顶点A与点O重合，点B、D的坐标分别为（0，3）、（-2，0），将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴的正方向平移，同时点P也以每秒a个单位长度从A出发，沿A→B→C→D运动，到点D停止，设矩形移动的时间为t（s）．
如图，矩形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到矩形A1BC1D1，C1D1与AD交于点M，延长DA交A1D1于F，若AB=1，BC=$\sqrt{3}$，则AF的长度为（ ）| A． | 2-$\sqrt{3}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}-1}{3}$ | C． | $\frac{3-\sqrt{3}}{3}$ | D． | $\sqrt{3}$-1 |
| A． | AB=AC | B． | AB≠AC | C． | ∠B=∠C | D． | ∠B≠∠C |
| A． | 了解一批炮弹的杀伤半径 | |
| B． | 了解全国中学生的身高情况 | |
| C． | 对市场上某种饮料质量情况的调查 | |
| D． | 调查一架隐形战机的各零部件的质量情况 |