Question

19．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC，EF交于点N．有下列四个结论：
①BF垂直平分EN；
②BF平分∠MFC；
③△DEF∽△FEB；
④tan∠N=$\sqrt{3}$．
其中，将正确结论的序号全部选对的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF=FM=DF；易求得∠BFE=∠BFN，则可得BF⊥EN；易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形；故正确的结论有3个．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF，
由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF=MF，
∴DF=CF，在△DEF与△CFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠FCN=90°}\\{DF=CF}\\{∠DFE=∠CFN}\end{array}\right.$，
∴△DFE≌△CFN，
∴EF=FN，
∵∠BFM=90°-∠EBF，∠BFC=90°-∠CBF，
∴∠BFM=∠BFC，
∴BF平分∠MFC；故②正确；
∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，
∴∠BFE=∠BFN，
∵∠BFE+∠BFN=180°，
∴∠BFE=90°，
即BF⊥EN，
∴BF垂直平分EN，故①正确；
∵∠BFE=∠D=∠FME=90°，
∴∠EFM+∠FEM=∠FEM+∠FBE=90°，
∴∠EFM=∠EBF，
∵∠DFE=∠EFM，
∴∠DFE=∠FBE，
∴△DEF∽△FEB；故③正确；
∵△DFE≌△CFN，∴BE=BN，
∴△EBN是等腰三角形，
∴∠N不一定等于60°，
故④错误．
故选：A．

点评 此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，证得△DFE≌△CFN是解题的关键．