Question

19．关于x的一元二次方程x²+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y²+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正．给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；②（m-1）²+（n-1）²≥2；③-1≤2m-2n≤1．其中正确结论的个数是（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 设方程x²+2mx+2n=0的两根为x₁、x₂，方程y²+2ny+2m=0的两根为y₁、y₂．
①根据方程解的情况可得出x₁•x₂=2n＞0、y₁•y₂=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x₁+x₂=-2m、y₁+y₂=-2n，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m²-2n≥0、n²-2m≥0，将（m-1）²+（n-1）²展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y₁+1）（y₂+1）-1、2n-2m=（x₁+1）（x₂+1）-1，结合x₁、x₂、y₁、y₂均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出结论．

解答 解：设方程x²+2mx+2n=0的两根为x₁、x₂，方程y²+2ny+2m=0的两根为y₁、y₂．
①∵关于x的一元二次方程x²+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y²+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x₁•x₂=2n＞0，y₁•y₂=2m＞0，
∵x₁+x₂=-2m，y₁+y₂=-2n，
∴这两个方程的根都是负根，①正确；
②∵关于x的一元二次方程x²+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y²+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴4m²-8n≥0，4n²-8m≥0，
∴m²-2n≥0，n²-2m≥0，
∴（m-1）²+（n-1）²=m²-2n+1+n²-2m+1≥2，②正确；
③∵y₁•y₂=2m，y₁+y₂=-2n，
∴2m-2n=y₁•y₂+y₁+y₂=（y₁+1）（y₂+1）-1，
∵y₁、y₂均为负整数，
∴（y₁+1）（y₂+1）≥0，
∴2m-2n≥-1．
∵x₁•x₂=2n，x₁+x₂=-2m，
∴2n-2m=x₁•x₂+x₁+x₂=（x₁+1）（x₂+1）-1，
∵x₁、x₂均为负整数，
∴（x₁+1）（x₂+1）≥0，
∴2n-2m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
故选D．

点评 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析3条结论的正误是解题的关键．