Question

6．在平面直角坐标系xOy中，点M（m，$\frac{k}{m}$）（k＞0的常数，且m＞0）．
（1）若k=5，点M在直线y=x-4，求点M的坐标；
（2）若直线y=-x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点A和点B，点M在直线上有且只有一个位置，过点A与y轴平行的直线和过点B与x轴平行的直线交于点C，点M在直线AC上的点为点M₁，点M在直线BC上的点为点M₂，当S${\;}_{△O{M}_{1}{M}_{2}}$=k²+$\frac{5}{4}$k-$\frac{3}{8}$时，求线段M₁M₂的长．

Answer 1

分析 （1）根据k=5，点M在直线y=x-4，得到方程$\frac{5}{m}$=m-4，解方程求得m=5，可得点M的坐标为（5，1）；
（2）点M与M₁、M₂的横坐标、纵坐标的关系的乘积：m×$\frac{k}{m}$=k，M₁与A横坐标相同，所以M₁（b，$\frac{k}{b}$），M₂与B纵坐标相同，所以M₂（$\frac{k}{b}$，b），因为点M在直线y=-x+b（b＞0）上有且只有一个位置，可得$\frac{k}{m}$=-m+b，可得b²=4k，再根据S${\;}_{△O{M}_{1}{M}_{2}}$=k²+$\frac{5}{4}$k-$\frac{3}{8}$可求线段M₁M₂的长．

解答 解：（1）∵k=5，点M在直线y=x-4，
∴$\frac{5}{m}$=m-4，
∴m=5，m=-1，
∵m＞0，
∴m=5，
∴M（5，1）；

（2）点M与M₁、M₂的横坐标、纵坐标的关系的乘积：m×$\frac{k}{m}$=k，
M₁与A横坐标相同，所以M₁（b，$\frac{k}{b}$），
M₂与B纵坐标相同，所以M₂（$\frac{k}{b}$，b），
因为点M在直线y=-x+b（b＞0）上有且只有一个位置，所以$\frac{k}{m}$=-m+b，
m²-bm+k=0，
△=b²-4k=0，b²=4k，
因为S${\;}_{△O{M}_{1}{M}_{2}}$=k²+$\frac{5}{4}$k-$\frac{3}{8}$，$\frac{1}{2}$（$\frac{k}{b}$+b）（$\frac{k}{b}$-b）=k²+$\frac{5}{4}$k-$\frac{3}{8}$，8k²+25k-3=0，
M₁M₂=2（b-$\frac{k}{b}$）²=2（$\frac{{b}^{2}-k}{b}$）²=$\frac{9k}{2}$．

点评 考查了两条直线相交或平行问题，两条直线的平行问题，若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．