Question

4．已知一次函数y=$\frac{1-kx}{k+1}$（k是不为0的自然数，且是常数）的图象与两坐标轴所围成的图形的面积为S_k（即k=1时，得S₁，k=2时，得S₂，┅）．试求S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₆=$\frac{1008}{2017}$．

Answer 1

分析 令x=0，y=0，分别求出图象与坐标轴的交点，再根据三角形面积公式表示S₁，S₂，S₃，…S₂₀₁₆，根据规律求和．

解答 解：令x=0，得y=$\frac{1}{k+1}$，y=0，得x=$\frac{1}{k}$，
∴S=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{k+1}$×$\frac{1}{k}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+1}$），
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₆，
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2017}$），
=$\frac{1008}{2017}$．
故答案为：$\frac{1008}{2017}$．

点评 本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征．关键是由函数关系式求直线与坐标轴的交点坐标，得出三角形面积的一般关系式，寻找抵消规律．