Question

4．如图，E，F分别是正方形ABCD边DC，AD上一点．
（1）若EF=BE，∠ABF=30°，AF=3，求CE的长；
（2）若BF是∠ABE的平分线，求证：BE-AF=CE．

Answer 1

分析 （1）根据30°角的直角三角形的性质得出BF=2AF=6，进而根据勾股定理得出AB=3$\sqrt{3}$，连接EF，设CE=x，则DE=3$\sqrt{3}$-x，DF=3$\sqrt{3}$-3，根据EF=BE，得出（3$\sqrt{3}$-3）²+（3$\sqrt{3}$-x）²=（3$\sqrt{3}$）²+x²，解得x的值即可；
（2）延长EC到G，使CG=AF，连接BG，通过△BAF≌△BCG得出∠G=∠AFB，∠ABF=∠CBG，进而根据角平分线的性质得出∠ABF=∠FBE=∠CBG，从而得出∠EBG=∠FBC，然后根据平行线的性质得出∠AFB=∠FBC，进而得出∠EBG=∠G，根据等角对等边即可证得BE=EG=EC+CG=EC+AF，得出结论．

解答 解：（1）在RT△ABF中，∵∠ABF=30°，AF=3，
∴BF=2AF=6，
∴AB=$\sqrt{B{F}^{2}-A{F}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
连接EF，设CE=x，则DE=3$\sqrt{3}$-x，DF=3$\sqrt{3}$-3，
∵EF=BE，
∴（3$\sqrt{3}$-3）²+（3$\sqrt{3}$-x）²=（3$\sqrt{3}$）²+x²，
解得x=2$\sqrt{3}$-3，
∴CE=2$\sqrt{3}$-3；
（2）延长EC到G，使CG=AF，连接BG，
在△BAF和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠A=∠BCG=90°}\\{AF=CG}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△BCG（SAS），
∴∠G=∠AFB，∠ABF=∠CBG，
∵BF是∠ABE的平分线，
∴∠ABF=∠FBE=∠CBG，
∴∠EBG=∠FBC，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠FBC，
∴∠EBG=∠G，
∴BE=EG=EC+CG=EC+AF，
∴BE-AF=CE．

点评 本题考查了正方形的性质，30°角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．