Question

9．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（m，0），B（n，0），点A位于点B的右侧，且m，n是一元二次方程x²+2x-3=0的两个根，与y轴交于C（0，3）．在抛物线上的对称轴上是否存在点P，使得△PAC为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 解方程求得A和B的坐标，求得对称轴，当A是直角顶点时，求得过A于AC垂直的直线与抛物线的对称轴的交点，然后判断是否是等腰三角形；同理当C是直角顶点时利用相同的方法判断；当AC是等腰三角形的底边时，求得AC的中垂线与对称轴的交点，然后判断是否是直角三角形即可．

解答 解：解方程x²+2x-3=0得x₁=-3，x₂=1，
则A的坐标是（1，0），B的坐标是（-3，0）．
抛物线的对称轴是x=-1．
设AC的解析式是y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
则直线AC的解析式是y=-3x+3．
当A是直角顶点时，过A且垂直于AC的直线解析式设是y=$\frac{1}{3}$x+c，
把A代入得：$\frac{1}{3}$+c=0，
解得：c=-$\frac{1}{3}$，
则解析式是y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$．
令x=-1，则y=-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$=-$\frac{2}{3}$，
则交点是（-1，-$\frac{2}{3}$）．到A的距离是$\sqrt{（-1-1）^{2}+（-\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，AC=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
则三角形不是等腰三角形；
同理，当C时直角时，过C于AC垂直的直线的解析式是y=$\frac{1}{3}$x+3，与对称轴x=-1的交点是（-1，$\frac{8}{3}$）．到C的距离是$\sqrt{（-1-1）^{2}+（\frac{8}{3}）^{2}}$=$\frac{10}{3}$≠AC，则不是等腰直角三角形；
当P是直角，即AC是斜边时，AC的中点是（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），过这点且与AC垂直的直线的解析式是y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{8}{6}$．
当x=-1时，y=-$\frac{1}{3}$+$\frac{8}{6}$=1．
则与对称轴的交点是（-1，1）．则到A的距离是$\sqrt{（-1-1）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵（$\sqrt{5}$）²+（$\sqrt{5}$）²=（$\sqrt{10}$）²，
∴P的坐标是（-1，1）．

点评 本题考查了二次函数与x轴的交点以及等腰直角三角形的判定，正确进行讨论是关键．