Question

已知：抛物线y=x²-2（m+2）x+m²-1与x轴有两个交点．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为非正整数时，关于x的一元二次方程x²-2（m+2）x+m²-1有整数根，求m的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,根的判别式

专题：

分析：（1）抛物线与x轴有两个交点，则△=b²-4ac＞0，从而求出m的取值范围．
（2）根据（1）求出m的值．然后将其代入关于x的一元二次方程x²-2（m+2）x+m²-1，通过解方程求得该方程的根，通过该方程的根是否是整数进行验证即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²-2（m+2）x+m²-1与x轴有两个交点，
∴△=b²-4ac＞0，
即[-2（m+2）]²-4（m²-1）=16m+20＞0，
解得m＞-

5

4

，即m的取值范围是m＞-

5

4

；

（2）由（1）知，m＞-

5

4

．
∵m为非正整数，
∴m=0或m=-1．
①当m=0时，由原方程得到：y=x²-4x-1．
解得 x=2±

5

（不合题意）．
则m=0不合题意；
②当m=-1时，由原方程得到：y=x²-2x=x（x-2）．
解得 x₁=0，x₂=2，
0和2都是整数，
则m=-1符合题意．
综上所述，m的值是-1．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：①抛物线与x轴有两个交点，则△＞0；②抛物线与x轴无交点，则△＜0；③抛物线与x轴有一个交点，则△=0．