Question

18．如图，∠GEF和∠DFE的角平分线相交于点H，AB∥CD，∠B=∠D，求证：EH⊥HF．

Answer 1

分析 根据平行线的性质得到∠A=∠C，由三角形的内角和定理得到∠AEB=∠DFC，由对顶角相等得到∠GEF=∠DFC，根据平行线的判定得到BG∥DF，于是得到∠GEF+∠DFE=180°，证得∠HEF+∠HFE=$\frac{1}{2}$（∠GEF+∠DFE）=90°，即可得到结论．

解答 证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠C，
∵∠B=∠D，
∴∠AEB=∠DFC，
∵∠GEF=∠AEB，
∴∠GEF=∠DFC，
∴BG∥DF，
∴∠GEF+∠DFE=180°，
∵∠GEF和∠DFE的角平分线相交于点H，
∴∠HEF+∠HFE=$\frac{1}{2}$（∠GEF+∠DFE）=90°，
∴∠H=90°，
∴EH⊥HF．

点评 本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．