Question

6．已知关于x的方程x²+2kx+k²-2k+1=0的两个实数根x₁，x₂满足x₁²=4-x₂²，反比例函数y=-$\frac{2k}{x}$的图象与直线l关于A（-4，m），B（-1，n）两点（如图），AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）求k的值以及直线l的解析式；
（2）P是线段AB上的一点（不与A、B重合），连接PC，PD，△PCA的面积记为S₁，△PDB的面积记为S₂．
①求证S₁+S₂为定值；
②求S₁•S₂的最大值，且求出此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据根与系数的关系，可得关于k的方程，根据解方程，可得k值，根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据待定系数法，可得直线的解析式；
（2）根据图形割补法，可得S₁，S₂．
①根据等式的性质，可得答案；
②根据整式的乘法，可得二次函数，根据二次函数的增减性，可得答案．

解答 解：（1）由关于x的方程x²+2kx+k²-2k+1=0的两个实数根x₁，x₂，
得x₁+x₂=-2k，x₁•x₂=k²-2k+1．
由x₁、x₂满足x₁²=4-x₂²，得k²+2k-3=0．
解得k=3，k=-1（不符合题意舍去），
反比例函数的解析式为y=$\frac{-6}{x}$，
当x=-4时，y=$\frac{3}{2}$，即A（-4，$\frac{3}{2}$）
当x=-1时，y=6，即B（-1，6），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A、B点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-4b+k=\frac{3}{2}}\\{-k+b=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=\frac{15}{2}}\end{array}\right.$．
故直线AB的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{15}{2}$；
（2）如图：

设P点坐标为（a，$\frac{3}{2}$a+$\frac{15}{2}$），
直线AB的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{15}{2}$，
当x=0时，y=$\frac{15}{2}$即E（0，$\frac{15}{2}$），
当y=0时，x=-5，即F（-5，0）．
①证明：∵S₁=S_△PFC-S_△AFC=$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{3}{2}$x+$\frac{15}{2}$）-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$x+3，
S₂=S_△PDE-S_△BDE=$\frac{1}{2}$×（$\frac{15}{2}$-6）×（-1-x）=-$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{4}$，
∴S₁+S₂=$\frac{3}{4}$x+3+（-$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{4}$）=$\frac{9}{4}$，
∴S₁+S₂为定值；
②S₁•S₂=（$\frac{3}{4}$x+3）（-$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{4}$）
=-$\frac{9}{16}$x²-$\frac{45}{16}$x-$\frac{9}{4}$
当x=-$\frac{5}{2}$时，S₁•S_2最大=$\frac{4×（-\frac{9}{4}）×（-\frac{9}{16}）-（-\frac{45}{16}）^{2}}{4×（-\frac{9}{16}）}$=$\frac{81}{64}$，
当x=-$\frac{5}{2}$时，$\frac{3}{2}$×（-$\frac{5}{2}$）+$\frac{15}{2}$=$\frac{15}{4}$，
P（-$\frac{5}{2}$，$\frac{15}{4}$）

点评 本题考查了反比例函数综合题，利用了根与系数的关系，自变量与函数值的对应关系，待定系数法求函数解析式；利用图形割补法是求面积的关键，又利用了二次函数的性质．