Question

在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE=BD．
（1）当点E为AB的中点时，如1，求证：EC=ED；
（2）当点E不是AB的中点时，如图2，EC与ED还相等吗？请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质得出AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠A=60°，再由E是AB的中点，AE=BE=BD，证出∠EDB=∠ECB，得出EC=ED；
（2）作辅助线证明△DBE≌△EFC即可．

解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE，∠ECB=

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2

∠ACB=30°，
∵AE=BD，
∴BE=BD，
∴∠EDB=∠DEB=

1

2

∠ABC=30°，
∴∠EDB=∠ECB，
∴EC=ED．
（2）ED=EC． 理由如下：
过E点作EF∥BC交AC于F点．如图2所示：
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
∴△AEF是等边三角形，∠DBE=120°，
∴AE=AF=EF，∠AFE=60°，
∴∠EFC=∠DBE=120°，
又∵AE=BD，AB=AC，
∴BD=EF，BE=FC，
在△DBE和△EFC中，

BD=EF   ∠DBE=∠EFC   BE=FC

∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴ED=EC．

点评：本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明角的关系和三角形全等是解决问题的关键．