Question

13．已知a，b，c三个数均为非零实数，且关于x的方程a（x²+2x-1）²+b（x²+2x-1）+c=0恰有三个不同的实根，则这三个实根之和为-3．

Answer 1

分析 令t=x²+2x-1，则原方程可化为at²+bt+c=0①，可得①有两个不相等的根t=$\frac{*b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，可得x²+2x-1=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$或x²+2x-1=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，这两个方程有1个方程有两个相等的根，x²+2x-1-$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=0②或x²+2x-1-$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=0③，分两种情况：方程②有两个相等的根x₁，方程③有两个不相等的根x₂，x₃；方程③有两个相等的根，则方程2有两个不相等的根；进行讨论即可求解．

解答 解：令t=x²+2x-1，
则原方程可化为at²+bt+c=0①，
∴①有两个不相等的根t=$\frac{*b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，
∴x²+2x-1=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$或x²+2x-1=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，
这两个方程有1个方程有两个相等的根，
x²+2x-1-$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=0②或x²+2x-1-$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=0③，
若方程②有两个相等的根x₁，则方程③有两个不相等的根x₂，x₃，
x₁=-$\frac{2}{2}$=-1，x₂+x₃=-$\frac{2}{1}$=-2，
x₁+x₂+x₃=-3；
若方程③有两个相等的根，则方程2有两个不相等的根，
仍有x₁+x₂+x₃=-3．
故答案为：-3．

点评 本题考查根的判别式，一元二次方程的解等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．