Question

【题目】如图，四边形ABDC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于点E．

（1）请你写出两个不相同的结论（不添加辅助线）；

（2）连接AD，若BE＝4，AC＝6，求线段AD的长．

Answer 1

【答案】（1）∠ACB＝90°，BE＝CE ；（2）AD＝4．

【解析】

（1）由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB＝90°；由OD垂直于BC，利用垂径定理得到E为BC的中点，即BE＝CE；

（2）由OD垂直于BC，利用垂径定理得到E为BC的中点，由BE的长求出BC的长，由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角，在直角三角形ABC中，由BC与AC的长，利用勾股定理求出AB的长，进而求出半径OB与OD的长，在直角三角形BOE中，由OB与BE的长，利用勾股定理求出OE的长，由OD﹣OE即可求出DE的长，利用勾股定理求出BD即可解决问题．

解：（1）由题意得：∠ACB＝90°；BE＝CE（答案不唯一）；

（2）∵OD⊥BC，BE＝4，

∴BE＝CE＝4，即BC＝2BE＝8，

∵AB为圆O的直径，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，

根据勾股定理得：AB＝，

∴OB＝OD＝5，

在Rt△OBE中，OB＝5，BE＝4，

根据勾股定理得：OE＝，

则ED＝OB﹣OE＝5﹣3＝2，BD＝，

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD＝．