题目内容
【题目】如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D(0，4)，AB=4
，设点F(m，0)是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C/．
(1)求抛物线C的函数表达式；
(2)若抛物线C/与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．
(3)如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C/上的对应点P/，设M是C上的动点，N是C/上的动点，试探究四边形PMP/N能否成为正方形？若能，请直接写出m的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）2＜m＜
；（3）m=6或m=
﹣3．
【解析】
试题（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（，0），设抛物线的解析式为
，把A（，0）代入可得a=
，由此即可解决问题；
（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为
，由
，消去y得到
，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有
，解不等式组即可解决问题；
（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题．
试题解析：（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（，0），设抛物线的解析式为，把A（，0）代入可得a=，∴抛物线C的函数表达式为
．
（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为，由
，消去y得到 ，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解得2＜m＜，∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜．
（3）结论：四边形PMP′N能成为正方形．
理由：1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．
由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，∴PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，∴M（m+2，m﹣2），∵点M在上，∴
，解得m=﹣3或﹣﹣3（舍弃），∴m=﹣3时，四边形PMP′N是正方形．
情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），把M（m﹣2，2﹣m）代入中，
，解得m=6或0（舍弃），∴m=6时，四边形PMP′N是正方形．
综上所述：m=6或m=﹣3时，四边形PMP′N是正方形．
