Question

【题目】如图，在中，点是边上的动点（点与点不重合），过动点作交于点

（1）若与相似，则是多少度？

（2）试问：当等于多少时，的面积最大？最大面积是多少？

（3）若以线段为直径的圆和以线段为直径的圆相外切，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）60°或30°．（2）PC等于12时，的面积最大，最大面积是．（3）

【解析】

（1）当△ABC与△DAP相似时，应有∠APD=∠B或∠APD=∠C，即∠APD为30°或60°．
（2）设PC=x，由PD∥BA，得∠BAC=∠PDC=90°，∴AC=BCcos60°=12，CD=xcos60°= x，AD=12-x，而PD=xsin60°=x，∴S△APD=PDAD把PD，AD的值代入，得到S△APD=．∴PC等于12时，△APD的面积最大，最大面积是18．
（3）设以BP和AC为直径的圆心分别为O1、O2，过O2作O2E⊥BC于点E，设⊙O1的半径为x，则BP=2x，AC=12，∴O2C=6，∴CE=6cos60°=3．∴由勾股定理得，O2E=，O1E=21-x，由于⊙O1和⊙O2外切，则圆心距O1O2=x+6．在Rt△O1O2E中，有O1O22=O2E2+O1E2，即（x+6）2=（21-x）2+（3）2，求解得到x的值，进而求得BP的值．

（1）当△ABC与△DAP相似时，∠APD的度数是60°或30°．

（2）设，∵，，∴，

又∵，∴，，

∴，而，

∴．

∴PC等于12时，的面积最大，最大面积是．

（3）设以和为直径的圆心分别为、，过作于点，

设的半径为，则．显然，，∴，∴，

∴，，

又∵和外切，∴．

在中，有，

∴，解得：， ∴