Question

14．已知∠AOB=100°，∠COD=40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．
（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；
（2）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜90）时，∠AOE-∠BOF的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE-∠BOF的值；若不是，请说明理由．
（3）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180）时，满足∠AOD+∠EOF=6∠COD，则n=30或50°或90°．

Answer 1

分析 （1）首先根据角平分线的定义求得∠EOB和∠COF的度数，然后根据∠EOF=∠EOB+∠COF求解；
（2）解法与（1）相同，只是∠AOC=∠AOB+n°，∠BOD=∠COD+n°；
（3）利用n表示出∠AOD，求得∠EOF的度数，根据∠AOD+∠EOF=6∠COD列方程求解．

解答 解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×100°=50°，∠COF=$\frac{1}{2}$∠COD=$\frac{1}{2}$×40°=20°，
∴∠EOF=∠EOB+∠COF=50°+20°=70°；
（2）∠AOE-∠BOF的值是定值，理由是：
当0＜n＜80时，如图2．∠AOE-∠BOF的值是定值，理由是：
∠AOC=∠AOB+n°，∠BOD=∠COD+n°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（100°+n°），∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$（40°+n°），
∴∠AOE-∠BOF=$\frac{1}{2}$（100°+n°）-$\frac{1}{2}$（40°+n°）=30°；
当80＜n＜90时，如图3．
∠AOE=$\frac{1}{2}$（360°-100°-α）=130°-$\frac{1}{2}$α，
∠BOF=$\frac{1}{2}$（40°+α），
则∠AOE-∠BOF=110°-α，不是定值；
（3）当0＜＜α＜40时，C和D在OA的右侧，
∠AOD=∠AOB+∠COD+n°=100°+40°+n°=140°+n°，
∠EOF=∠EOC+∠COF=∠EOC+∠COD-∠DOF=$\frac{1}{2}$（100°+n°）+40°-$\frac{1}{2}$（40°+n°）=70°，
∵∠AOD+∠EOF=6∠COD，
∴（140+n）+70°=6×40，
∴n=30．
当40≤α＜80时，如图2所示，D在OA的左侧，C在OA的右侧．
当∠AOD=∠AOB+∠COD+n°＞180°时，∠AOD=360°-∠AOB-∠COD=220°-n°，∠EOF=70°，
∵∠AOD+∠EOF=6∠COD，
∴220°-n°+70°=6×40°，
解得n=50．
当80＜α＜140时，如图3所示，
∠AOD=360°-100°-40°-α=220°-n°，∠EOF=360°-（130°-$\frac{1}{2}$n）-$\frac{1}{2}$（40°+n）-100°=110°，
则（220-n）+110°=240°，
解得n=90°；
当140≤n＜180时，
∠AOD=220°-n°，∠EOF=70°，
则220-n+70=240，解得n=50（舍去）．
故答案是：30或50°或90°．

点评 本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键．