Question

1．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“等中三角形”．
探索体验
（1）如图①，点D是线段AB的中点，请画出一个△ABC，使其为“等中三角形”；
（2）如图②，在 Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求证：△ABC是“等中三角形”；
拓展应用
（3）如图③，在正方形ABCD中，AB=6，点P、Q分别在BC、CD边上，且PQ∥BD，是否存在点Q，使△APQ为“等中三角形”？若存在，请求出DQ的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作射线DN，在射线DN上截取DC=AB，连接AC、BC，则△ABC即为所求．
（2）如图2中，取AC的中点D，连接BD．由∠ACB=90°，tanA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{BC}{AC}$，所以可以假设BC=$\sqrt{3}$k，AC=2k，则CD=AD=k，在Rt△BDC中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}k）^{2}+{k}^{2}}$=2k，即可证明BD=AC．
（3）如图3中，连接AC，交PQ于M．设DQ=x．首先证明CQ=CP，DQ=PB，根据AM=PQ列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作射线DN，在射线DN上截取DC=AB，连接AC、BC，则△ABC即为所求．


（2）如图2中，取AC的中点D，连接BD．

∵∠ACB=90°，tanA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴可以假设BC=$\sqrt{3}$k，AC=2k，
∴CD=AD=k，
在Rt△BDC中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}k）^{2}+{k}^{2}}$=2k，
∴BD=AC，
∴△ABC是“等中三角形”；

（3）如图3中，连接AC，交PQ于M．设DQ=x．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDB=∠CB=45°，CD=BC=AB=6，
∵PQ∥BD，
∴∠CQP=∠CPQ=45°，
∴CQ=CP，DQ=PB=x，
∴CQ=CP=6-x，PQ=$\sqrt{2}$（6-x），CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（6-x），
由题意AM=PQ，
∴6$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（6-x）=$\sqrt{2}$（6-x），
∴x=2，
∴DQ=2．

点评 本题考查四边形综合题、三角形的中线的定义、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考创新题目．