Question

如图，AB是⊙O的直径，∠ABC的平分线BD交⊙O于D，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=10，BD=8，求线段EC的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；证明∠ODB=∠DBE；证明∠ODB+∠BDE=90°，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线，求出AD，进而求出AF；证明△ADF≌△CED，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，连接OD；
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB；而BD平分∠ABE，
∴∠OBD=∠DBE，
∴∠ODB=∠DBE；而DE⊥BE，
∴∠BDE+∠DBE=90°，
∴∠ODB+∠BDE=90°，即∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线．
（2）如图，连接AD、DC，过点D作DF⊥AB于点F；
∵BD平分∠ABE，DE⊥BE，
∴DE=DF；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，而AB=10，BD=8，
∴由勾股定理得：AD²=AB²-BD²=36，
由射影定理得：AD²=AF•AB，
∴AF=3.6；
∵∠ABD=∠EBD，
∴AD=DC；
在△ADF与△CED中，

AD=DC DF=DE

，
∴△ADF≌△CED（HL），
∴EC=DF=3.6．

点评：该题以圆为载体，以考查切线的判定、勾股定理、角平分线的性质、射影定理等重要几何知识点为核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．