Question

平行于x轴的一条直线交拋物线y=x²-2x-3于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：先把解析式配成顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=1，由于EF∥x轴，则E、F为抛物线上的对称点，而以EF为直径的圆恰与x轴相切于Q，所以以EF为直径的⊙P的圆心P在直线x=1上，切点Q为直线x=1与x轴的交点，设圆心P的坐标为（1，t），PE=PF=t，接着表示出F点坐标（1+t，t），根据二次函数图象上点的坐标特征，把F（1+t，t）代入y=x²-2x-3得到关于t的方程，解方程求出t的值，从而得到P点坐标，然后根据切线的性质确定圆的半径．

解答：解：∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵EF∥x轴，以EF为直径的圆恰与x轴相切于Q，如图，
∴E、F为抛物线上的对称点，
∴以EF为直径的⊙P的圆心P在直线x=1上，切点Q为直线x=1与x轴的交点，
设圆心P的坐标为（1，t），PE=PF=t，
∴F点坐标为（1+t，t），
把F（1+t，t）代入y=x²-2x-3得t=（1+t）²-2（1+t）-3，
整理得t²-t-4=0，
解得t₁=

1+ 17

2

，t₂=

1- 17

2

，
当EF在x轴上方时，P点坐标为（1，

1+ 17

2

），此时圆的半径为

1+ 17

2

；
当EF在x轴上方时，P点坐标为（1，

1- 17

2

），此时圆的半径为

17 -1

2

；
∴此圆的半径为

1+ 17

2

或

17 -1

2

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征；会利用求根公式法解一元二次方程．