Question

12．已知x-$\frac{1}{x}$=7，求：
①x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$；
②x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$．

Answer 1

分析 利用完全平方公式将①化成：x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x-$\frac{1}{x}$）²-2，即可得到答案；同理可以将②化成x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$=（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）²-2，然后再根据①的答案得出②的答案．

解答 解：①∵x-$\frac{1}{x}$=7，
∴（x-$\frac{1}{x}$）²=7²=49，
又∵x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x-$\frac{1}{x}$）²-2，
∴x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=49-2=47，

②∵x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$=（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）²-2，
又∵由①知道x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=47，
∴x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$=47²-2=2207．

点评 本题主要考查了分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．解答此题的关键就是熟练的运用完全平方公式进行运算．