Question

4．如图，在△ABC中，∠ABC=48°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，则∠ADC=66°．

Answer 1

分析 过D作DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DH=DG=DF，推出AD平分∠FAC，根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，由外角的性质得到∠ACE=∠BAC+∠ABC，于是推出∠BDE=$\frac{1}{2}$∠BAC，同理：∠ADB=$\frac{1}{2}$∠ACB，根据三角形的内角和即可得到结果．

解答 解：过D作DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，
∵∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，
∴DH=DG=DF，
∴AD平分∠FAC，
∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠ACE=∠BAC+∠ABC，
即∠1+∠2=∠3+∠4+∠BAC，
∴2∠1=2∠3+∠BAC，
∵∠1=∠3+∠BDE，
∴∠BDE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
同理：∠ADB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB），
∵∠ABC=48°，
∴∠BAC+∠ACB=132°，
∴∠ADC=66°．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，也考查了三角形外角性质，正确的作出辅助线是解题的关键．