Question

如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船c的求救信号．已知A、B两船相距100（

3

+3）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
（2）已知距观测点D处200海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：

2

≈1.41，

3

≈1.73）

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-方向角问题

专题：

分析：（1）作CE⊥AB于点E，则∠ABC=45°，∠BAC=60°，设AE=x海里，在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°，在Rt△BCE中，BE=CE=

3

x，由AE+BE=x+

3

x=100（3+

3

）求出x的值，再根据AC=2x得出AC的值，在△ACD中，由∠DAC=60°，∠ADC=75°得出∠ACD=45°．过点D作DF⊥AC于点F，设AF=y，则DF=CF=

3

y，根据AC=y+

3

y=200

3

求出y的值，故可得出AD的长，进而得出结论；
（2）根据（1）中的结论得出DF的长，再与200相比较即可．

解答：解：（1）作CE⊥AB于点E，则∠ABC=45°，∠BAC=60°，设AE=x海里，
∵在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°=

3

x，
在Rt△BCE中，BE=CE=

3

x，
∴AE+BE=x+

3

x=100（3+

3

），解得x=100

3

，
∴AC=2x=200

3

．
在△ACD中，
∵∠DAC=60°，∠ADC=75°，
∴∠ACD=45°．
过点D作DF⊥AC于点F，设AF=y，则DF=CF=

3

y，
∴AC=y+

3

y=200

3

，解得y=100（3-

3

），
∴AD=2x=200（3-

3

）．
答：A与C之间的距离AC为200

3

海里，A与D之间的距离AD为200（3-

3

）海里；

（2）∵由（1）可知，DF=

3

AF=

3

×100（3-

3

）≈219．
∵219＞200，
∴巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险．

点评：本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．