Question

如图，△ABC中，AC=BC，以BC上一点O为圆心，OB为半径作⊙O交AB于点D．已知经过点D的⊙O切线恰好经过点C．
（1）试判断CD与AC的位置关系，并证明；
（2）若△ACB∽△CDB，且AC=3，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）连结OD，如图，由OD=OB得∠ODB=∠B，由AC=CB得∠A=∠B，则∠A=∠ODB，于是可判断OD∥AC，根据平行线的性质得∠ACD=∠ODC，再根据切线的性质得∠ODC=90°，则∠DCA=90°，所以CD⊥AC；
（2）根据相似三角形的性质，由△ACB∽△CDB得到∠BCD=∠A，理由三角形外角性质易得∠ADC=2∠B，则∠ADC=2∠A，再利用三角形内角和定理得∠A+∠ADC=90°，可计算出∠A=30°，则∠CDB=∠B=30°，∠COD=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△ACD中可计算出CD=

3

3

AC=

3

，再在Rt△ODC中计算出OD=

3

3

CD=1，然后利用三角形的面积减去扇形的面积可得到图中阴影部分的面积．

解答：解：（1）CD⊥AC．理由如下：
连结OD，如图，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∵AC=CB，
∴∠A=∠B，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠ACD=∠ODC，
∵CD是⊙O切线，
∴∠ODC=90°，
∴∠DCA=90°，
∴CD⊥AC；
（2）∵△ACB∽△CDB，
∴∠BCD=∠A，
∴∠ADC=2∠B，
而∠A=∠B，
∴∠ADC=2∠A，
∵∠A+∠ADC=90°，
∴∠A=30°，
∴∠CDB=∠B=30°，
∴∠COD=60°，
在Rt△ACD中，CD=

3

3

AC=

3

，
在Rt△ODC中，OD=

3

3

CD=1，
∴图中阴影部分的面积=

1

2

×1×

3

-

60•π•12

360

=

3

2

-

π

6

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了扇形的面积计算和相似三角形的性质．