Question

17．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是平行四边形，证明你的结论；
（2）当四边形 ABCD的对角线满足AC⊥BD条件时，四边形 EFGH是矩形；你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？菱形
（3）当四边形 ABCD的对角线满足AC=BD条件时，四边形 EFGH是菱形；你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？矩形．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形；
（2）在（1）的基础上，所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直；
（3）在（1）的基础上，所得四边形要成为菱形，则需有一组邻边相等，故对角线应满足相等．

解答 （1）证明：连接AC，
∵在△ABC中，点E，F分别是AB，BC的中点，
即EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AC且EF=$\frac{1}{2}$AC
同理可证：
HG∥AC且HG=$\frac{1}{2}$AC
∴EF∥HG且EF=HG
∴四边形EFGH是平行四边形．
故答案为：平行四边形；

（2）当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形，
要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，由（1）得，只需AC⊥BD；
学过的菱形的中点四边形是矩形；
故答案为：AB⊥CD，菱形；

（3）要使四边形EFGH是菱形，则需EF=FG，由（1）得，只需AC=BD；
学过的矩形的中点四边形是菱形．
故答案为：AC=BD，矩形．

点评 此题主要是对三角形的中位线定理的运用．同时熟记此题中的结论：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；
顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形．