Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC与⊙O相交于点D，点E在⊙O上，且DE=DA，AE与BC相交于点F．
（1）求证：FD=DC；
（2）若AE=8，DE=5，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：（1）由切线的性质得BA⊥AC，则∠2+∠BAD=90°，再根据圆周角定理得∠ADB=90°，则∠B+∠BAD=90°，所以∠B=∠2，接着由DA=DE得到∠1=∠E，由圆周角定理得∠B=∠E，所以∠1=∠2，可判断AF=AC，根据等腰三角形的性质得FD=DC；
（2）作DH⊥AE于H，如图，根据等腰三角形的性质得AH=EH=

1

2

AE=4，再根据勾股定理可计算出DH=3，然后证明△BDA∽△EHD，利用相似比可计算出AB=

25

3

，从而可得⊙O的半径．

解答：（1）证明：∵AC是⊙O的切线，
∴BA⊥AC，
∴∠2+∠BAD=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠B=∠2，
∵DA=DE，
∴∠1=∠E，
而∠B=∠E，
∴∠B=∠1，
∴∠1=∠2，
∴AF=AC，
而AD⊥CF，
∴FD=DC；
（2）解：作DH⊥AE于H，如图，
∵DA=DE=5，
∴AH=EH=

1

2

AE=4，
在Rt△DEH中，DH=

DE2-EH2

=3，
∵∠B=∠E，∠ADB=∠DHE=90°，
∴△BDA∽△EHD，
∴

AB

DE

=

AD

DH

，即

AB

5

=

5

3

，
∴AB=

25

3

，
∴⊙O的半径为

25

6

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质．