Question

8．在等边△ABC中，E是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），∠AEF=60°，EF交△ABC外角平分线CD于点F．
（1）如图1，当点E是BC的中点时，请你补全图形，直接写出$\frac{CF}{AE}$的值，并判断AE与EF的数量关系；
（2）当点E不是BC的中点时，请你在图（2）中补全图形，判断此时AE与EF的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得到∠EAC=30°，得到∠CEF=30°，求得∠ECF=120°，得到∠EFC=30°，推出AC垂直平分EF，得到△AEF是等边三角形，于是得到结论；
（2）连接AF，EF与AC交于点G．由CD是它的外角平分线．得到∠ACF=60°=∠AEF，根据相似三角形的性质得到$\frac{GE}{GA}=\frac{GC}{GF}$，∠AFE=∠ACB=60°，得到△AEF为等边三角形，于是得到结论．

解答 解：（1）$\frac{CF}{AE}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，
∴∠EAC=30°，
∵∠AEF=60°，
∴∠CEF=30°，
∵CD平分△ABC外角，
∴∠ECF=120°，
∴∠EFC=30°，
∴CE=CF，
∴AC垂直平分EF，
∴AE=AF；
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF；
（2）连接AF，EF与AC交于点G．
∵在等边△ABC中，CD是它的外角平分线．
∴∠ACF=60°=∠AEF，
∵∠AGE=∠FGC
∴△AGE∽△FGC，
∴$\frac{GE}{GC}=\frac{GA}{GF}$，
∴$\frac{GE}{GA}=\frac{GC}{GF}$，
∵∠AGF=∠EGC，
∴△AGF∽△EGC，
∵∠AFE=∠ACB=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=EF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确的作出图形是解题的关键．