题目内容
3．
如图，长方形ABCD中，AB=10cm，AD=12cn，∠A=90°，点P从点A开始沿着AB边以5cm/s的速度移动，同时另一点Q由A点开始以12cm/s的速度沿着AD边移动．设两点的运动时间为t秒．（1）若用含t的式子表示PQ，可以表示为13t．
（2）试求出使△APQ的面积等于长方形ABCD面积的九分之一的t值．
（3）若Q点到达D点后立刻按照原路原速返回，试求出何时△APQ为等腰三角形．
分析 （1）根据AP=5t，AQ=12t，∠A=90°，运用勾股定理即可用含t的式子表示PQ；
（2）根据△APQ的面积等于长方形ABCD面积的九分之一，可得方程30t2=120×$\frac{1}{9}$，求得t的值即可；
（3）当△APQ为等腰三角形时，AQ=AP，据此可得方程24-12t=5t，求得t的值即可．
解答 解：（1）由题可得，AP=5t，AQ=12t，
∵∠A=90°，
∴Rt△APQ中，PQ=$\sqrt{A{P}^{2}+A{Q}^{2}}$=$\sqrt{25{t}^{2}+144{t}^{2}}$=13t，
故答案为：13t；
（2）△APQ的面积=$\frac{1}{2}$AP×AQ=$\frac{1}{2}$×5t×12t=30t2，
长方形ABCD面积=12×10=120，
当△APQ的面积等于长方形ABCD面积的九分之一时，
30t2=120×$\frac{1}{9}$，
解得t=$\frac{2}{3}$（负值已舍去），
∴t的值为$\frac{2}{3}$秒；
（3）∵∠A=90°，
∴当△APQ为等腰三角形时，AQ=AP，
若Q点到达D点后立刻按照原路原速返回，则AQ=24-12t，而AP=5t，
∴当AQ=AP时，24-12t=5t，
解得t=$\frac{24}{17}$，
∴当t的值为$\frac{24}{17}$秒时，△APQ为等腰三角形．
点评 本题主要考查了勾股定理的运用，三角形的面积计算公式，以及等腰三角形的定义的运用，解题时注意：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
练习册系列答案
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