平面直角坐标系xOy中.已知A．以AB为斜边作等腰直角三角形ABC.点C在第一象限.M是AB的中点．P.Q分别是线段AC.CB上的动点.点P自A出发.以$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$个单位/s的速度向C运动,点Q自C出发.以相同速度向B运动．BC交x轴于点E．设运动时间为t s．(1)求证:MP=MQ．(2)求点C的坐标．(3)求过A.B.C三点的抛物线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0）、B（0，3）．以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，M是AB的中点．P、Q分别是线段AC、CB上的动点，点P自A出发，以$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$个单位/s的速度向C运动；点Q自C出发，以相同速度向B运动．BC交x轴于点E．设运动时间为t s．
（1）求证：MP=MQ．
（2）求点C的坐标．
（3）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．
（4）是否存在t值，使∠EMP=45°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据等腰直角三角形的性质，可得CM=AM，∠MAC=∠MCQ，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据全等三角形的判定与性质，可得CF=CD，BF=AD，可得关于x的方程；
（3）根据待定系数法，可得答案；
（4）根据全等三角形的判定与性质，可得EM与EP的关系，根据勾股定理，可得关于t的方程．

解答（1）证明：如图1，连接CM，
∵△ABC是等腰直角三角形，CM是斜边上的中线，
∴CM=AM，∠MAC=∠MCQ=45°，
在△AMP和△CMQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=CM}\\{∠MAP=∠MCQ}\\{AP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△APM≌△CQM （SAS），
∴MP=MQ；
（2）如图2：过C作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、F
∠BCF+∠ACF=∠ACD+∠ACF，
∴∠BCF=∠ACF．
在△ACD和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ADC=∠BFC}\\{ACD=∠BCF}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△CAD，
∴CF=CD，BF=AD，
设CF=CD=x，则OF=OD=x，
∴BF=3-x，AD=x-1，
∴3-x=x-1，x=2，
∴C（2，2）．
（3）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
将A、B、C的坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{c=3}\\{4a+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{5}{2}}\\{b=-\frac{11}{2}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=$\frac{5}{2}$x²-$\frac{11}{2}$x+3；
（4）存在．
如图3：连接EM，由（1）知：MP=MQ，∠PMQ=90°．
若∠EMP=45°，则∠EMQ=45°，则△EMP≌△EMQ，所以EP=EQ，
又BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，
∴E（6，0），CE=$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
EQ=2$\sqrt{5}$+t，
而P$（1+\frac{1}{5}t，\frac{2}{5}t）$，
∴EP=$\sqrt{{{（5-\frac{1}{5}t）}^2}+{{（\frac{2}{5}t）}^2}}=\sqrt{\frac{1}{5}{t^2}-2t+25}$
∴$\sqrt{\frac{1}{5}{t^2}-2t+25}=2\sqrt{5}+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t$，
解得$t=\frac{5}{6}$
∴$t=\frac{5}{6}$．