Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=2cm，∠BAD=120°，P为AD的中点，在直线AD下方作∠BPE=120°，使边PE与等腰梯形的某一边所在直线相交于点E．
（1）画出所有符合题意的示意图，并说明以点B、P、E为顶点的三角形是否与△ABP相似？
（2）求△BPA的面积．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）分点E在CD上时，根据等腰梯形同一底上的两个角相等可得∠D=∠BAD=120°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ABP=∠DPE，然后根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABP和△DPE相似，根据相似三角形对应边成比例求出

BP

PE

=

AB

PD

=2，再根据两边对应成比例夹角相等两三角形相似求解即可；点E在直线BC上时，根据两直线平行，内错角相等可得∠APB=∠PBE，然后利用两组角对应相等两三角形相似证明；
（2）求出∠ABC=60°，然后求出等腰梯形的高，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：（1）如图1，点E在CD上时，
∵P为AD的中点，AB=AD，
∴AB=2AP=2PD，
∵等腰梯形ABCD中，∠BAD=120°，
∴∠D=∠BAD=120°，
∵∠BPE=120°，
∴∠ABP+∠BAD=∠BPE+∠DPE，
∴∠ABP=∠DPE，
∴△ABP∽△DPE，
∴

BP

PE

=

AB

PD

=2，
又∵∠BAD=∠BPE=120°，
∴△ABP∽△PBE；
如图2，点E在直线BC上时，
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBE，
又∵∠BAD=∠BPE=120°，
∴△ABP∽△PBE；

（2）∵AD∥BC，∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴梯形的高=AB•

3

2

=2×

3

2

=

3

cm，
∵AD=2，点P是AD的中点，
∴AP=

1

2

×2=1，
∴△BPA的面积=

1

2

×1×

3

=

3

2

cm²．

点评：本题考查了等腰梯形，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，难点在于（1）先利用相似三角形求出对应边成比例，然后再判断出另两个三角形相似．