题目内容

如图，已知平行四边形DEFG与正方形ABCD有一个公共顶点D，G在CB或其延长线上，A在EF所在直线上，又二次函数y=（m-1）x²-（m-2）x-1（m＞0）与x轴的两个交点P、Q的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁＞0，x₂＞0，正方形ABCD的边长a等于点P，Q间的距离．
（1）求m的取值范围；
（2）求a和四边形DEFG的面积S；
（3）若DEFG的一组邻边长分别等于x₁，x₂，并设 $数学公式$ ，求sin∠E和k．
（（2），（3）的结果都用含m的代数式表示）

解：（1）∵二次函数y=（m-1）x²-（m-2）x-1（m＞0）与x轴的两个交点，
P、Q的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁＞0，x₂＞0，
∴x₁•x₂=- $\text{[math]}$ ＞0，
解得m＜1，
又∵m＞0，
∴0＜m＜1；

（2）令抛物线中y=0，可得0=（m-1）x²-（m-2）x-1，
解得x=1或x= $\text{[math]}$ ，
∵0＜m＜1，
∴ $\text{[math]}$ ＞1，
∴a= $\text{[math]}$ -1= $\text{[math]}$ ，
过A作AM⊥GD于M，则有△AMD∽△DCG，
∴ $\text{[math]}$ ，
即AM•GD=a²，
∴S=AM•GD=a²=（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ；

（3）过D作DN⊥EF于N，则sin∠E= $\text{[math]}$ ，
∵S=EF•DN=a²，
∴DN= $\text{[math]}$ ，即sin∠E= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ =k，
∴CG=BC•k= $\text{[math]}$ ，
当DG=1时，在直角三角形CDG中，DG²=DC²+CG²，
即1= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
解得k= $\text{[math]}$ ，
当0＜m＜ $\text{[math]}$ 时，k= $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ ＜m＜1时，k= $\text{[math]}$ ，
当DG= $\text{[math]}$ 时，同理可求得k= $\text{[math]}$ ，
∴k的值为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由于x₁，x₂均为正数因此x₁•x₂＞0，由此可求出m的取值范围；
（2）可根据抛物线的解析式求出x₁，x₂的值，即可得出PQ的距离即a的值，求四边形DEFG的面积就要知道底边和高的值，可过A作CD的垂线设垂足为M，那么不难得出△ADM∽△DGC，由此可证得GD•AM的值正好是正方形边长的平方，即平行四边形的面积和正方形的面积相等，由此可求出S的值；
（3）求sin∠E可通过构建直角三角形来解，过D作DN⊥EF于N，那么在直角三角形DEN中，sin∠E= $\text{[math]}$ ，而DN可用正方形的面积
除以EF求得，因此∠E的正弦值就等于正方形的面积（即平行四边形的面积）除以EF与DE的积，正方形的面积已经求得，而DE与
EF的积可在（2）也可得出，据此可求出∠E的正弦值，可根据CG和CB的比例关系，用k表示出CG的长，然后在直角三角形CGD中，用勾股定理即可求出k的值．
点评：本题考查了平行四边形和正方形的性质、图形面积的求法以及二次函数的应用等知识．综合性强，难度较大．