Question

19．如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax²+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．直线AB交y轴于点D，抛物线交y轴于点C．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在y轴上是否存在点Q，使△ABQ为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A坐标代入y=kx-6，根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）根据直线AB的解析式求出点B的坐标，点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法即可求解；
（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论．找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可．

解答 解：（1）把A（1，-4）代入y=kx-6，得k=2，
∴直线AB的解析式为y=2x-6，
（2）∵抛物线的顶点为A（1，-4），
∴设此抛物线的解析式为y=a（x-1）²-4，
∵点B在直线y=2x-6上，且横坐标为0，
∴点B的坐标为（3，0），
又∵点B在抛物线y=a（x-1）²-4上，
∴a（3-1）²-4=0，解之得a=1，
∴此抛物线的解析式为y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3；
（3）在y轴上存在点Q，使△ABQ为直角三角形．理由如下：
作AE⊥y轴，垂足为点E．
又∵点D是直线y=2x-6与y轴的交点，点C是抛物线y=x²-2x-3与y轴的交点
∴E（0，-4），D（0，-6），C（0，-3）
∴OD=6，OE=4，AE=1，ED=2，OC=3，OB=3，BD=$3\sqrt{5}$，AD=$\sqrt{5}$
①如图，当∠Q₁AB=90°时，△DAQ₁∽△DOB，
∴$\frac{AD}{OD}$=$\frac{D{Q}_{1}}{DB}$，即$\frac{\sqrt{5}}{6}$=$\frac{D{Q}_{1}}{3\sqrt{5}}$，
∴DQ₁=$\frac{5}{2}$，
∴OQ₁=6-$\frac{5}{2}$=$\frac{7}{2}$，即Q₁（0，-$\frac{7}{2}$）；
②如图，当∠Q₂BA=90°时，△BOQ₂∽△DOB，
∴$\frac{OB}{OD}$=$\frac{O{Q}_{2}}{OB}$，即$\frac{3}{6}$=$\frac{O{Q}_{2}}{3}$，
∴OQ₂=$\frac{3}{2}$，即Q₂（0，$\frac{3}{2}$）；
③如图，当∠AQ₃B=90°时，则△BOQ₃∽△Q₃EA，
∴$\frac{OB}{E{Q}_{3}}$=$\frac{O{Q}_{3}}{AE}$，即$\frac{3}{4-O{Q}_{3}}$=$\frac{O{Q}_{3}}{1}$，
∴OQ₃²-4OQ₃+3=0，
∴OQ₃=1或3，
即Q₃（0，-1），Q₄（0，-3）．
综上，Q点坐标为（0，-$\frac{7}{2}$）或（0，$\frac{3}{2}$）或（0，-1）或（0，-3）．

点评 本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式的方法、直角三角形的判定、相似三角形应用等重点知识．（3）题较为复杂，需要考虑的情况也较多，因此要分类进行讨论．