Question

如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=3，AB=CD=2，点E在BC边上，AE与BD交于点F，∠BAE=∠DBC．
（1）求证：△ABE∽△BCD；
（2）求tan∠DBC的值；
（3）求线段BF的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰梯形的性质

专题：

分析：（1）根据等腰梯形可得到∠ABE=∠C，结合条件可证得结论；
（2）过D作DG⊥BC，则可求得BG、CG，在Rt△DCG中可求得DG，在Rt△BGD中由正切函数的定义可求得tan∠DBC；
（3）由（2）可求得BD，结合（1）中的相似可求得BE，再利用平行线分线段成比例得到

AD

BE

=

DF

BF

，代入可求得BF．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠ABE=∠C，且∠BAE=∠DBC，
∴△ABE∽△BCD；
（2）解：过D作DG⊥BC于点G，

∵AD=1，BC=3，
∴CG=

1

2

（BC-AD）=1，BG=2，
又∵在Rt△DGC中，CD=2，CG=1，
∴DG=

3

，
在Rt△BDG中，tan∠DBC=

DG

BG

=

3

2

；
（3）解：由（2）在Rt△BGD中，由勾股定理可求得BD=

7

，
由（1）△ABE∽△BCD可得

AB

BC

=

BE

CD

，即=

BE

2

=

2

3

，解得BE=

4

3

，
又∵AD∥BC，
∴

AD

BE

=

DF

BF

，且DF=BD-BF，
∴

1

4 3

=

7 -BF

BF

，
解得BF=

4 7

7

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质及三角函数的定义，在（2）中构造直角三角形，求得DG是解题的关键，在（3）中求得BE、BD的长是解题的关键．