Question

6．如图，点P是△ABC外的一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接PB，PC．若PD=PE=PF，∠BAC=70°，则∠BPC的度数为35°．

Answer 1

分析 根据角平分线的判定，可得∠ABP=∠CBP，∠ACP=∠FCP；根据三角形外角的性质，可得∠ABC+∠BAC=∠ACF，∠PBC+∠BPC=∠FCP，根据等量代换，可得答案．

解答 解：由PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接PB，PC．若PD=PE=PF，得
∠ABP=∠CBP，∠ACP=∠FCP．
由∠ACF是△ABC的外角，得
∠ABC+∠BAC=∠ACF．
两边都除以2，得
$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$∠ACF，
即∠PBC+$\frac{1}{2}$∠BAC=∠FCP．
由∠PCF是△BCP的外角，得
∠PBC+∠BPC=∠FCP，
∴∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×70°=35°，
故答案为：35°．

点评 本题考查了角平分线的判定，利用了角平分线的判定，三角形外角的性质，利用角平分线的判定得出∠ABP=∠CBP，∠ACP=∠FCP是解题关键．