Question

已知，在△ABC中，AB=AC，直线m经过点A，点D，E是直线m上的动点，且∠BDE=∠AEC=∠BAC．
（1）如图1，求证：DE=BD+CE；
（2）如图2，以AB为边作等边三角形ABF，连接FC，FD，FE（D，A，E三点互不重合），若∠BAC=120°，试判断△DEF的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用∠BDA=∠BAC得到：∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，得出∠CAE=∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案；
（2）由等边三角形ABF及∠BAC=120°，可得∠FAC=60°，由（1）知：△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE，进而得出△FDB≌△FEA，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，进而得到∠DFE=60°，所以可判断△DEF的形状为等边三角形．

解答：证明：（1）证明：∵∠BDA=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，

∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC

，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）DF=EF．理由如下：

由（1）知，△ADB≌△CAE，
BD=EA，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF为等边三角形，
∴∠ABF=∠BAF=60°，BF=AF，
∵∠BAC=120°，
∴∠FAC=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
在△DBF和△EAF中，

FB=FA ∠FBD=∠FAE BD=AE

，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．