Question

14．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=60°，BC=1，以CD为直径作圆与AB相切于点M，且交BC边于E点，求BE的长．

Answer 1

分析 连接OE，OM，延长CD，BA交于点G，由∠B=∠C=60°，易得∠G=60°，△CEO为等边三角形，由同位角相等易得OE∥BG，利用平行线分线段成比例定理可得$\frac{CE}{BE}=\frac{OC}{OG}$，在Rt△OMG中，利用锐角三角函数可得OG=$\frac{OM}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}r$，从而得到$\frac{CE}{BE}$，由CE+BE=BC=1，解得BE．

解答 解：设⊙O的半径为r，
连接OE，OM，延长CD，BA交于点G，
∵∠B=∠C=60°，
∴∠G=60°，
∵OC=OE=r，
∴∠CEO=60°，
∴△CEO为等边三角形，
∴CE=OC=r，
∵∠OEC=∠B=60°，
∴OE∥BG，
∴$\frac{CE}{BE}=\frac{OC}{OG}$，
在Rt△OMG中，
OG=$\frac{OM}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}r$，
则$\frac{CE}{BE}$=$\frac{r}{\frac{2\sqrt{3}}{3}r}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}BE$+BE=1，
∴BE=4-2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了等边三角形的判定及性质，平行线分线段成比例定理等，作出适当的辅助线，构建直角三角形是解答此题的关键．