Question

13．如图，BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=36°，求∠BIC的大小；
（2）若∠A=96°，试求∠BIC；
（3）根据前面问题的求解，请归纳∠BIC和∠A的数量关系并进行证明．

Answer 1

分析 （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，求出∠IBC+∠ICB的值，即可解决问题．
（2）先根据∠A=96°，得出∠1+∠2=84°，再运用（1）中的方法即可解决问题．
（3）证明思路方法即（2）中的方法．

解答 解：（1）如图所示，∵∠ABC=40°，∠ACB=36°，
∴∠DBC=140°，∠ECB=144°，
又∵BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，
∴∠3=$\frac{1}{2}$∠DBC=70°，∠4=$\frac{1}{2}$∠ECB=72°，
∴△BCI中，∠I=180°-70°-72°=38°；

（2）∵∠A=96°，
∴∠1+∠2=84°，
∴∠DBC+∠ECB=276°，
又∵BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，
∴∠3+∠4=$\frac{1}{2}$（∠DBC+∠ECB）=$\frac{1}{2}$×276°=138°，
∴△BCI中，∠I=180°-138°=42°；

（3）∠BIC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
证明：△ABC中，∠1+∠2=180°-∠A，
∴∠DBC+∠ECB=360°-（180°-∠A）=180°+∠A，
又∵BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，
∴∠3+∠4=$\frac{1}{2}$（∠DBC+∠ECB）=$\frac{1}{2}$×（180°+∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴△BCI中，∠I=180°-（∠3+∠4）=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题主要考查了三角形的内角和定理及角平分线的定义的运用；解题的关键是灵活运用三角形内角和为180°．