Question

5．已知：关于x的方程x²-（m+1）x+m-2=0有两异号实数根x₁，x₂，且x₁＞|x₂|，若x₁²+x₂²=8．
（1）求m的值；
（2）若函数y=x²+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标为-x₁+1，-x₂+1．求当1≤x≤2时，函数y=|x²+bx+c|的最大值．

Answer 1

分析 （1）先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再把x₁²+x₂²转换为（x₁+x₂）²-2x₁x₂，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出m的值；
（2）根据根与系数的关系可计算出b和c的值，则y=|x²+bx+c|变形为y=|x²+（$\sqrt{3}$-1）x-2|或y=|x²-（$\sqrt{3}$+1）x-2|，然后利用二次函数的性质在1≤x≤2确定函数的最大值．

解答 解：（1）根据题意得x₁+x₂=m+1，x₁x₂=m-2，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=8，
∴（m+1）²-2（m-2）=8，
整理得m²=3，解得m₁=$\sqrt{3}$，m₂=-$\sqrt{3}$．
∵△=（m+1）²-4（m-2）=（m-1）²+8＞0，
∴m的值为$\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$．
（2）∵（-x₁+1）+（-x₂+1）=-b，（-x₁+1）（-x₂+1）=c，
∴b=x₁+x₂-2=m+1-2=m-1=±$\sqrt{3}$-1，
c=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=m-2-m-1+1=-2，
∴y=|x²+bx+c|变形为y=|x²+（$\sqrt{3}$-1）x-2|或y=|x²-（$\sqrt{3}$+1）x-2|，
对于y=|x²+（$\sqrt{3}$-1）x-2|，当1≤x≤2时，x=2，y有最大值2$\sqrt{3}$，
y=|x²-（$\sqrt{3}$+1）x-2|，当1≤x≤2时，x=2，y有最大值2$\sqrt{3}$，
∴当1≤x≤2时，函数y=|x²+bx+c|的最大值为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：利用二次函数的交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0），且这两个交点为抛物线上的对称点．也考查了根的判别式和根与系数的关系．