Question

15．已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两根为α，β，且两个关于x的方程x²+（α+1）x+β²=0与x²+（β+1）x+α²=0有唯一的公共根，求a，b，c的关系式．

Answer 1

分析 方程x²+（α+1）x+β²=0与x²+（β+1）x+α²=0连立方程组，两式做差可得（α-β）x-（α²-β²）=0，因为这两个方程有唯一的公共根，可得x=α+β，代入x²+（α+1）x+β²=0，再根据根与系数的关系得到a，b，c的关系式．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（α+1）x+{β}^{2}=0\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;①}\\{{x}^{2}+（β+1）x+{α}^{2}=0\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;②}\end{array}\right.$
①-②，得
（α-β）x-（α²-β²）=0
∵x²+（α+1）x+β²=0与x²+（β+1）x+α²=0有唯一的公共根
∴x=α+β
将x=α+β代入x²+（α+1）x+β²=0，得
（α+β）²+（α+1）（α+β）+β²=0
化简整理，得
2（α+β）²-αβ+（α+β）=0
∵一元二次方程ax²+bx+c=0的两根为α，β
∴$2×（-\frac{b}{a}）^{2}-\frac{c}{a}+（-\frac{b}{a}）=0$
整理，得
2b²-ac-ab=0
故答案为：a，b，c的关系式为：2b²-ac-ab=0．

点评 本题考查方程组的问题，根与系数的关系，两个方程组有唯一的公共根问题．