Question

如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象交于点A、B，与x、y轴交于C、D，且满足

k- 3

+（a+

3

）²=0．
（1）求反比例函数解析式；
（2）当AB=BC时，求b的值；
（3）如图2，当b=2

3

时，连OA，将OA绕点O逆时针旋转60°，使点A与点P重合，以点P为顶点作∠MPN=60°，分别交直线AB和x轴于点M、N，求证：PM平分∠AMN．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,二次根式的性质与化简,反比例函数与一次函数的交点问题,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）由条件

k- 3

+（a+

3

）²=0即可求出k和a，即可解决问题．
（2）过点A作AE⊥OC，垂足为E，过点B作BF⊥OC，垂足为F，如图1，设点A（m，

3

m

），通过三角形相似可以用m表示出点B的坐标，将点A、B的坐标代入直线AB的解析式，就可求出m和b的值．
（3）易证△OAC和△OAP都是等边三角形，结合∠MPN=60°可以证到△PON≌△PAE以及△POD≌△PAM，从而得到PN=PE，PD=PM，进而证到△PED≌△PNM．由这几组全等三角形就可得到∠PMA=∠PDO=∠PMN，则有PM平分∠AMN．

解答：（1）解：∵

k- 3

+（a+

3

）²=0，
∴k-

3

=0，a+

3

=0，
解得：k=

3

，a=-

3

，
∴反比例函数解析式为：y=

3

x

．

（2）解：过点A作AE⊥OC，垂足为E，过点B作BF⊥OC，垂足为F，如图1，
设点A（m，

3

m

），
∵AE⊥OC，BF⊥OC，
∴AE∥BF．
∴△CFB∽△CEA．
∴

BF

AE

=

BC

AC

．
∵AB=BC，∴AC=2BC．
∴AE=2BF．
∴BF=

3

2m

．
∴OF=

3

3 2m

=2m．
∴点B（2m，

3

2m

）．
∵一次函数y=-

3

x+b与反比例函数y=

3

x

（x＞0）的图象交于点A、B，
∴

- 3 m+b= 3 m -2 3 m+b= 3 2m

．
解得：

m= 2 2 b= 3 6 2

．
∴b的值为

3 6

2

．

（3）证明：延长AO与射线PN交于点D，连接AP，过点A作AH⊥OC，垂足为H，如图2，
联立

y=- 3 x+2 3 y= 3 x

．
解得：

x=1 y= 3

．
∴点A的坐标为（1，

3

），OH=1，AH=

3

．
∴OA=2，∠AOH=60°．
由-

3

x+2

3

=0得x=2，则OC=2．
∴OA=OC．
∴△OAC是等边三角形．
∴∠OAC=60°，OA=AC．
∵OP=OA，∠AOP=60°，
∴△AOP是等边三角形．
∴OP=AP，∠PAO=∠OPA=60°．
∵∠NPM=60°，
∴∠NPM=∠OPA．
∴∠NPO=∠EPA．
∵∠PON=180°-∠AOP-∠AOC=60°，
∴∠PON=∠PAE．
在△PON和△PAE中，

∠NPO=∠EPA OP=AP ∠PON=∠PAE

∴△PON≌△PAE（ASA）．
∴PN=PE．
同理可得：△POD≌△PAM．
∴PD=PM，∠PDO=∠PMA．
在△PED和△PNM中，

PE=PN ∠EPD=∠NPM PD=PM

．
∴△PED≌△PNM（SAS）．
∴∠PDE=∠PMN．
∴∠PMA=∠PMN．
∴PM平分∠AMN．

点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、二次根式的性质等知识，综合性非常强，有一定的难度．而证出△POD≌△PAM和△PED≌△PNM是解决第三小题的关键．