在正方形ABCD中.AB=2.．(1)如图1.点P是对角线AC上任一点.若M是AB中点.求PM+PB的最小值,(2)如图2.点P是对角线AC上任一点.若M.N分别是边AB.BC上的点.且AM=$\frac{1}{2}$AB.CN=$\frac{1}{3}$BC.求PM+PN的最小值．(3)如图3.若M1.M2是AB边三等分点.P1.P2是对角线AC上任意两点.求(P1B+P1M1)2+(P2M1+P2M2)2的最小值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．在正方形ABCD中，AB=2，．
（1）如图1，点P是对角线AC上任一点，若M是AB中点，求PM+PB的最小值；
（2）如图2，点P是对角线AC上任一点，若M，N分别是边AB，BC上的点，且AM=$\frac{1}{2}$AB，CN=$\frac{1}{3}$BC，求PM+PN的最小值．
（3）如图3，若M₁，M₂是AB边三等分点，P₁，P₂是对角线AC上任意两点，求（P₁B+P₁M₁）²+（P₂M₁+P₂M₂）²的最小值．

分析（1）如图1中，连接PD、DM．B、D关于AC对称，推出PB=PD，推出PB+PM=PD+PM，在△PDM中，易知PD+PM≤DM，求出DM即可解决问题；
（2）如图2中，取AD的中点F，连接PF、FN，作NH⊥AD于H．因为M、F关于AC对称，推出PM=PF，可得PM+PN=PF+PN，在△PFN中，PF+PN≥FN，由此求出FN即可解决问题；
（3）分别求出P₁B+P₁M₁与P₂M₁+P₂M₂的最小值即可解决问题；

解答解：（1）如图1中，连接PD、DM．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB=CD=AD=2，∠BAD=90°，
在Rt△ADM中，DM=$\sqrt{A{D}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵B、D关于AC对称，
∴PB=PD，
∴PB+PM=PD+PM，
在△PDM中，易知PD+PM≤DM，
∴PM+PB≥$\sqrt{5}$，
∴PM+PB的最小值为$\sqrt{5}$．

（2）如图2中，取AD的中点F，连接PF、FN，作NH⊥AD于H．

易知四边形NHDC是矩形，
∵CN=DH=$\frac{2}{3}$，DF=1，
∴FH=DF-DH=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
在Rt△FNH中，FN=$\sqrt{N{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{37}}{3}$，
∵AM=BM，AF=FD，
∴M、F关于AC对称，
∴PM=PF，
∴PM+PN=PF+PN，
在△PFN中，PF+PN≥FN，
∴PM+PN≥$\frac{\sqrt{37}}{3}$，
∴PM+PN的最小值为$\frac{\sqrt{37}}{3}$．

（3）如图3中，在AD上取一点N，使得AN=AM₂，连接NM₁、NP₂、DM₁、DP₁．

在Rt△ANM₁中，NM₁=$\sqrt{A{N}^{2}+A{{M}_{1}}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
在Rt△ADM₁中，DM₁=$\sqrt{A{D}^{2}+A{{M}_{1}}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，
∵N、M₂关于AC对称，
∴P₂N=P₂M₂，
∴P₂M+P₂M₁=P₂N+P₂M₁≥NM₁，
∴P₂M+P₂M₁的最小值为$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
同理，P₁B+P₁M₁═P₁D+P₁M₁≥DM₁，
∴P₁B+P₁M₁的最小值为$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，
∴（P₁B+P₁M₁）²+（P₂M₁+P₂M₂）²的最小值=$\frac{20}{9}$+$\frac{52}{9}$=8．