Question

17．如图，平面上有一边长为2的正方形ABCD，O为对角线的交点，正方形OEFG的顶点与O重合，OE、OG分别与正方形ABCD的边交于M、N两点．
①如图（1），当OE⊥AB时，四边形OMBN的面积为1；
②如图（2），当正方形OEFG绕点O旋转时，四边形OMBN的面积会发生变化吗？试证明你的结论．

Answer 1

分析 ①先利用正方形ABCD的性质求出BD，BO的长度，再证明四边形OMBN为正方形，即可解答；
②如图（2），当正方形OEFG绕点O旋转时，四边形OMBN的面积不会发生变化，证明△MOG≌△NOH（ASA），即可得到四边形OMBN的面积等于正方形OGBH的面积，面积为1．

解答 解：（1）如图1，连接BD，

∵正方形ABCD的边长为2，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，
∴OB=$\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}$，
∵四边形OEFG为正方形，OE⊥AB，
∴四边形OMBN为矩形，
∵∠ABO=45°，
∴MB=MO，
∴四边形OMBN为正方形，
∴MB²+MO²=BO²，
∴2BM²=2
BM²=1，
∴四边形OMBN的面积为1，
故答案为：1；
②如图（2），当正方形OEFG绕点O旋转时，四边形OMBN的面积不会发生变化，

过点O作OG⊥AB于点G，过点O作OH⊥BC于点H，
∴∠MGO=∠OHN，
由（1）可知，四边形OGBH为正方形，
∴OG=OH，
∵∠EOG=90°，∠GOH=90°，
∴∠MOG+∠GON=90°，∠GON+∠HON=90°，
∴∠MOG=∠NOH，
在△MOG与△NOH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MGO=∠NHO}\\{OG=OH}\\{∠MOG=∠NOH}\end{array}\right.$，
∴△MOG≌△NOH（ASA），
∴四边形OMBN的面积等于正方形OGBH的面积，面积为1．

点评 本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，解决本题的关键是证明四边形OMBN是正方形．