Question

6．如图，∠EOF=48°，OP平分∠EOF，点C在射线OP上，点A、B分别是射线OE、OF上的两动点（点A、B不与点O 重合），连接AB交射线OP于点D，连接CB，设∠EAB=α．
（1）如图1，若BC∥OE，则
①∠OCB=24°
②若∠CDB=∠CBD，试求α的值；
（2）如图2，若CB⊥OP，则是否存在这样的α，使得△CDB中有两个内角相等？若存在，请直接写出α的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1①由角平分线定义得出∠AOP=∠BOP=24°，再由平行线的性质得出∠OCB=∠AOP=24°即可；
②由三角形内角和定理求出∠CBD=78°，再由平行线的性质得出∠EAB=102°即可；
（2）分两种情况：①点D在线段OC上时，求出∠OBC=66°，由已知条件证出△CDB是等腰直角三角形，得出∠CBD=∠CDB=45°，求出∠OBD=21°，由三角形的外角性质得出∠EAB=∠EOF+∠OBD，即可得出结果；
②点D在射线OC上时，由①得：∠OBD=∠OBC+∠CBD=111°，再由三角形的外角性质即可得出结果．

解答 解：（1①如图1：∵∠EOF=48°，OP平分∠EOF，
∴∠AOP=∠BOP=24°
∵BC∥AE，
∴∠OCB=∠AOP=24°；
故答案为：24；
②∵∠CDB=∠CBD，∠OCB=24°，
∴∠CBD=（180°-24°）÷2=78°，
∵BC∥OE，
∴∠EAB+∠CBD=180°，
∴∠EAB=180°-78°=102°，
即α=102°；
（2）存在这样的α，使得△CDB中有两个内角相等，α为69°或159°．理由如下：
分两种情况：
①点D在线段OC上时，如图2所示：
∵CB⊥OP，
∴∠OCB=90°，
∵∠BOP=24°，
∴∠OBC=90°-24°=66°，
∵△CDB中有两个内角相等，
∴△CDB是等腰直角三角形，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
∴∠OBD=66°-45°=21°，
∴∠EAB=∠EOF+∠OBD=48°+21°=69°，
即α=69°；
②点D在射线OC上时，如图3所示：
由①得：∠OBD=∠OBC+∠CBD=66°+∠45°=111°，
∴∠EAB=∠EOF+∠OBD=48°+111°=159°，
即α=159°；
综上所述：存在这样的α，使得△CDB中有两个内角相等，α为69°或159°．

点评 本题是三角形综合题目，考查了平行线的性质、角平分线定义、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解决问题的关键．