题目内容

4．（1）提出问题：如图1，点A，B，C，D，分别是∠MON边上的点，OP是∠MON内的一条射线，且点E、F在射线OP上，若AE∥BF，CE∥DF，则AC∥BD吗？请说明理由．若点E是OF的中点，则AC与BD又怎样的关系？直接写出结论．
（2）解决问题：聪明的同学们，不知上面问题的解决能否给你完成下面问题带来灵感，请你们试一试吧．
如图2，四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，链接EF交对角线AC于点T，且CT＜AT．P是对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于点M，FE交MN于点K，求证：K是线段MN的中点．

分析 （1）根据平行线分线段成比例定理推出结论．
（2）根据题意，由EF截△PMN，则$\frac{NK}{KM}•\frac{MF}{FP}•\frac{PE}{EN}=1$ ①，由BC截△PAE，则$\frac{EB}{BA}•\frac{AC}{CP}•\frac{PN}{NE}=1$ ②，所以$\frac{PN}{NE}=\frac{2CP}{AC}$，推出$\frac{PE}{EN}=\frac{2CP+AC}{AC}$ ③，由CD截△PMA，则$\frac{FD}{DC}•\frac{CA}{AP}•\frac{PM}{MF}$=1即$\frac{PM}{MF}=\frac{2AP}{AC}$，证出$\frac{PF}{MF}$=$\frac{2AP-AC}{AP}$ ④，又因为AP=AC+CP，所以得到2CP+AC=2AP-AC，由③、④得$\frac{PE}{EN}=\frac{FP}{MF}$，即$\frac{MF}{FP}•\frac{PE}{MF}=1$，所以由①得：NK=KM，即K是线段MN的中点．

解答 证明：（1）∵AE∥BF，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{OE}{OF}$，
∵CE∥DF，
∴$\frac{OC}{OD}=\frac{OE}{OF}$，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}$，
∴AC∥BD，
∵点E是OF的中点，
∴$\frac{OE}{OF}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}=\frac{AC}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴AC=$\frac{1}{2}$BD．

（2）∵EF截△PMN，
则$\frac{NK}{KM}•\frac{MF}{FP}•\frac{PE}{EN}=1$ ①，
∵BC截△PAE，
则$\frac{EB}{BA}•\frac{AC}{CP}•\frac{PN}{NE}=1$ ②，
∴$\frac{PN}{NE}=\frac{2CP}{AC}$，
∴$\frac{PE}{EN}=\frac{2CP+AC}{AC}$ ③，
∵CD截△PMA，
则$\frac{FD}{DC}•\frac{CA}{AP}•\frac{PM}{MF}$=1
即$\frac{PM}{MF}=\frac{2AP}{AC}$，
∴$\frac{PF}{MF}$=$\frac{2AP-AC}{AP}$ ④，
∵AP=AC+CP，
∴2CP+AC=2AP-AC，
由③、④得$\frac{PE}{EN}=\frac{FP}{MF}$，
即$\frac{MF}{FP}•\frac{PE}{MF}=1$，
∴由①得：NK=KM，
即K是线段MN的中点．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理，线段截三角形所得的线段的比为定值．以及比例的性质，解题的关键是找准线段截三角形所得的线段的比．

练习册系列答案
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